Análise Combinatória
Princípio Multiplicativo ou Regra do Produto
O número total de maneiras de um processo ocorrer é o produto do número de maneiras de cada etapa que compõe o processo.
Exercícios:
1- Uma pessoa possui 7 livros de matemática e 5 livros de português. Pergunta-se:
a) de quantas maneiras pode-se escolher 2 livros, sendo um de matemática e um de português.
b) de quantas maneiras pode-se escolher 2 livros quaisquer?
c) de quantas maneiras pode-se escolher 3 livros quaisquer?
a) Possibilidade = 7 x 5 = 35
b) Possibilidade = (7+5) x 11 = 12 x 11 = 132 → despermutar: 132/2 = 66
c) Possibilidade = 12 x 11 x 10/6 = 220
2- Dispomos de 3 cores distintas para formar uma bandeira com 7 linhas. De quantas maneiras isso é possível?
N = 3 x 2^6
N = 3 x 64
N = 192
3- Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos podemos formar, considerando:
a) Pode-se repetir algarismos.
b) Com algarismos distindo.
a) █ █ █ N = 6^3
6 6 6 N = 216
b) █ █ █ N = 6 x 5 x 4
6 5 4 N = 120
4- Qual o número total de placas de automóveis possíveis de serem aplicadas considerando-se o sistema vigente no Brasil?
█ █ █ - █ █ █ █ N = 26^3 x 10^4
26 26 26 10 10 10 10 N = 175.760.000
5- Uma pessoa vai viajar de uma cidade A até a cidade C passando obrigatóriamente pela cidade B. De A para B pode-se escolher ir de avião ou navio. De B para C de trem, ônibus ou moto. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode fazer uma viagem de ida e volta?
A → B = 2 possib. 2 3 N = 2^2 x 3^2
B → C = 3 possib. A → B → C N = 36
2 3
6- Se a pessoa não puder repetir o mesmo meio de transporte, qual o número de possibilidades agora?
1 2
A → B → C N = 2 x 3 x 2 x 1
2 3 N = 12
7- Joga-se uma moeda 5 vezes. Qual o número de sequências possível?
moeda = 2 lados N = 2^5
N = 32
8- Uma moeda for lançada N vezes sucessivamente. Se o número de sequências é 256, qual é o valor de N?
2^n = 2^8 N = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ... 2 (N vezes)
N = 8 N = 2^n → 2^n = 256
Fatorial
Seja n um número natura.
n! → leia-se "n fatorial"
n! → n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)... x 1
Exemplos:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 "Decompor o maior até chegar no menor"
3! = 3 x 2 x 1 = 6
2! = 2 x 1 = 2
1! = 1
0! = 1
1- Mostre que 0! = 1:
n! = n(n-1)!
Fazendo n = 1
1! = 1(1-1)!
1! = 1 x 0!
1! = 0!
Exercícios:
1- Calcular 100!/99!:
100!/99! → 100 x 99!/99! → 100
2- Calcular 10! + 8!/8!:
10! + 8!/8! → 10 x 9 x 8! + 8!/8! → 8!(10 x 9 + 1)/8! = 91 (fator comum)
3- Simplificar (n+1)! - n!/n!:
(n+1)! - n!/n! → (n+1)n! - n!/n! → n!(n+1-1)/n! = n
4- Calcular 8! x 2!/6!:
8! x 2!/6! → 8 x 7 x 6! x 2!/6! → 54 x 2 = 112
5- Calcular 21! - 3x20!/19!:
21! - 3x20!/19! → 21 x 20 x 19! - 3 x 20 x 19!/19! → 19!(21 x 20 - 3 x 20)/19! → 21 x 20 - 3 x 20 = 360
Permutação
Permutar n objetos distintos é igual a n! maneiras.
Pn = n!
Permutar 2 objetos: a, b
P2 = 2!
Permutar 3 objetos: a, b, c
P3 = 3!
Permutar 4 objetos: a, b, c, d
P4 = 4!
Exercícios
1- Uma família possui um casal e 3 filhos. De quantas maneiras podemos perfilálos para uma foto? E se o casal quiser sair junto em todas as fotos?
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
5 4 3 2 1 = 5! = 120 1 2 3 4
P4 = 4! = 24 N = P4 x P2 → N = 24 x 2 → N = 48
Permutação com Repetição de Objetos
abb → abb abb → 3 objetos b repete 2 vezes
bab bab X = P3/P2
bba bba
aaabb → 5 objetos (a repete 3x, b repete 2x)
Número de permutações = P5/P3 x P2 → 5!/3! x 2! → 5 x 4 x 3!/3! x 2 = 10
aaaabbbccd → 10 objetos (a repete 4x, b repete 3x, c repete 2x, d repete 1x)
P10/P4 x P3 x P2 → 10!/4! x 3! x 2! → 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4!/4! x 3! x 2 → 30240/12 = 2520
Exemplos:
1- Calcule o número de anagramas das palavras:
a) CACHORRO:
8 letras (C repete 2x, O repete 2x, R repete 2x)
P8/P2 x P2 x P2 → 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2!/2! x 2! x 2! → 20160/4 = 5040
b) BANANA:
6 letras (A repere 3x, N repete 2x)
P6/P3 x P2 → 6!/3! x 2! → 6 x 5 x 4 x3!/3! x 2! → 120/2 = 60
Combinação
Cn,p = n!/p!(n-p)!
Cn,p = número de maneiras de se escolher p objetos entre os n disponíveis, em AGRUPAMENTOS NÃO ORDENADOS.
OBS: No caso de se querer AGRUPAMENTOS ORDENADOS devemor ter p! x Cn,p
Exemplos:
1- De quantas maneiras podemos escolher 3 alunos entre 5 disponíveis?
Cn,p = n!/p!(n-p)! → C5,3 = 5!/3!(5-3)! → C5,3 = 5 x 4 x 3!/3! x 2! → C5,3 = 10
OBS: Resolvendo pela regra do produto, temos:
█ █ █ → 5 x 4 x 3/P3 → 5 x 4 x 3/3 x 2! = 10
5 4 3
